Preuves mathématiques
Avant propos
Ce travail repose sur celui de Alistair Savage, à propos de raisonnement mathématique et preuves, et plus précisément sur la traduction de Simon Fortier-Garceau.
Ainsi, cet article est soumis à la licence Attribution-ShareAlike 4.0 International.
Définitions
On note l’ensemble des entiers l’ensemble \(\mathbb Z\).
L’opérateur « + » est binaire (c’est-à-dire qu’il possède deux opérandes) et s’appelle l’addition. L’addition s’applique sur les nombres entiers.
L’opérateur « · » est aussi binaire et s’appelle la multiplication. Elle s’applique aussi sur les nombres entiers.
On appelle juxtaposition le fait de poser des éléments côte à côte, sans liaison. Lorsque nous juxtaposons deux éléments \(a\) et \(b\), nous écrivons \(ab\).
\(a · b\) (a multiplié par b) peut s’écrire \(ab\).
Un axiome est, par définition, un concept évident de lui-même. C’est-à-dire que, dans un contexte mathématique, sa démonstration (preuve) n’est pas nécessaire.
Axiomes
Nous élaborerons une liste numérotée d’axiomes et les utiliserons pour démontrer que des propositions sont vraies (ou fausses !).
À noter que les propositions précédemment démontrées peuvent être réutilisées dans d’autres preuves plus conséquentes. Inutile de se répéter.
Axiome 1 : \(a + b = b + a\). L’addition est dite commutative.
Axiome 2 : \((a + b) + c = a + (b + c)\). L’addition est dite associative.
Axiome 3 : \(a · (b + c) = a · b + a · c\). La multiplication est dite distributive.
Axiome 4 : \(a · b = b · a\). La multiplication est aussi commutative.
Axiome 5 : \((a · b) · c = a · (b · c)\). La multiplication est aussi associative.
Axiome 6 : \(\exists 0 \in \mathbb{Z} : \forall a \in \mathbb{Z}, a + 0 = a\). Traduction : « il existe un élément \(0\) dans l’ensemble des entiers relatifs (\(\mathbb Z\)) tel que pour chaque entier relatif a, \(a + 0 = a\) ». Autrement dit, \(0\) est l’élément neutre additif ou élément identité de l’addition.
Axiome 7 : \(\exists 1 \in \mathbb{Z} : 1 \neq 0 \wedge \forall a \in \mathbb{Z}, a · 1 = a\). Traduction : « Il existe un élément \(1\) dans l’ensemble des entiers relatifs (\(\mathbb Z\)) tel que 1 est différent de 0 et que \(a · 1 = a\). Autrement dit, \(1\) est l’élément neutre multiplicatif ou élément identité de la multiplication.
Axiome 8 : \(\forall a \in \mathbb{Z}, \exists{(-a)} \in \mathbb{Z} : a + (-a) = 0\). Traduction : « Pour chaque entier relatif \(a\), il existe un entier relatif \(-a\) tel que \(a + (-a) = 0\). L’élément \(-a\) est l’inverse additif de \(a\).
Axiome 9 : \(\forall a, b, c \in \mathbb{Z}, a · b = a · c \wedge a \neq 0 \Longrightarrow b = c\). Traduction : « Pour tout entiers relatifs \(a\), \(b\) et \(c\), si \(a · b = a · c\) et \(a \neq 0\), alors b = c. Il s’agit de la propriété d’annulation (on peut supprimer a de part et d’autre de l’égalité).
Axiome 10 : \(\forall a, \in \mathbb{Z}, a = a\). Traduction : « pour tout entier relatif \(a\), \(a\) est égal à \(a\). Plus simplement : l’égalité est réflexive.
Axiome 11 : \(\forall a, b \in \mathbb{Z}, a = b \Longrightarrow b = a\). Traduction : « si \(a\) est égal à \(b\), alors \(b\) est égal à \(a\) ». Autrement : l’égalité est symétrique.
Axiome 12 : \(\forall a, b, c \in \mathbb{Z}, a = b \wedge b = c \Longrightarrow a = c\). Traduction : « si a est égal à b et b est égal à c, alors a est égal à c ». L’égalité est transitive.
Axiome 13 : \(\forall a, b, c \in \mathbb{Z}, a = b \Longrightarrow a + c = b + c\). Traduction : « pour tous entiers relatifs \(a\), \(b\) et \(c\), si \(a\) est égal à \(b\), alors \(a + c\) est égal à \(b + c\) ». Dit plus simplement : si on a \(a = b\) alors a peut être substitué par b sans changer le sens de l’expression.
Axiome 14 : \(\forall{a} \in \mathbb{Z}, \neg(a \neq a)\). Traduction : « Pour tout entier relatif a, l’inégalité a ≠ a est fausse. Autrement dit, l’opérateur \(≠\) n’est pas réflexif. Cet axiome peut sembler trivial car il semble redondant avec l’axiome 10, mais il souligne le fait que l’inégalité n’est pas réflexive.
Axiome 15 : \(\forall a, b \in \mathbb{Z}, a \neq b \Longrightarrow b \neq a\). Traduction : « Pour tous entiers relatifs a et b, si a est différent de b, alors b est différent de a ». L’inégalité est symétrique.
Nous avons à notre disposition 16 axiomes. À partir de ceux-là, nous pouvons prouver des propositions.
Propositions
Proposition 1 : \(\forall a, b, c \in \mathbb{Z}, (a + b)c = ac + bc\).
Commençons par traduire la proposition pour mieux la comprendre : « pour tous entiers relatifs a, b et c, on a \((a + b)c = ac + bc\).
Pour prouver cela, nous allons utiliser les axiomes à notre disposition pour exprimer différemment \((a + b)c\). On remarque que les expressions \((a + b)\) et \(c\) sont juxtaposées. Donc l’opérateur multiplication est utilisé.
Ensuite, d’après l’axiome 4, la multiplication est commutative. Alors nous avons le droit d’écrire :
\[(a + b)c = c(a + b)\]Nous utilisons ensuite l’axiome 3 qui atteste que la multiplication est distributive, ainsi :
\[c(a + b) = c · a + c · b = ca + cb\]Note : on utilise la juxtaposition pour écrire \(ca + cb\) à des fins de lisibilité, mais notez le développement de la distributivité en accord avec l’axiome 3.
Enfin, nous nous basons de nouveau sur l’axiome 4 sur la commutativité de la multiplication. Nous pouvons donc écrire :
\[ca + cb = ac + bc\]Preuve complete :
\[\begin{aligned} (a + b)c &= c(a + b) \\ &= ca + cb \\ &= ac + bc \end{aligned}\]Grâce à cette proposition prouvée formellement, nous pouvons nous en servir dans d’autres preuves, en « raccourcissant » le fait que \((a + b)c = ac + bc\) sans devoir nous justifier autre que d’indiquer « d’après la proposition 1 ».
Proposition 2 : \(\forall a \in \mathbb{Z}, 0 + a = a \wedge 1 · a = a\).
Pour tout entier relatif a, les égalités 0 + a = a et 1 · a = a sont vraies.
Preuve : d’après l’axiome 1, l’addition est commutative. Ainsi :
\[0 + a = a + 0\]De plus, d’après l’axome 6, il existe un entier relatif 0 tel que \(a + 0 = a\) (\(0\) est l’élément neutre additif).
Nous avons prouvé que \(0 + a = a + 0 = a\), mais la preuve ne s’arrête pas là.
D’après l’axiome 4, la multiplication est commutative. Ainsi :
\[1 · a = a · 1\]Ensuite, d’après l’axiome 7, il existe un entier relatif 1 tel que \(a · 1 = a\) (\(1\) est l’élément neutre multiplicatif, ou élément identité de la multiplication).
Nous avons également prouvé que \(1 · a = a · 1 = a\).
Par conséquent, pour tout entier relatif a, nous avons bien \(0 + a = a\) et \(1 · a = a\).
Proposition 3 : \(\forall a \in \mathbb Z, (-a) + a = 0\)
Pour tout entier relatif a, l’égalité (-a) + a = 0 est vraie.
Preuve : on utilise l’axiome 1 (commutativité de l’addition) et l’axiome 8 sur l’inverse additif. Ainsi :
\[\begin{aligned} (-a) + a &= a + (-a) \ \ &(axiome\ 1) \\ &= 0\ \ &(axiome\ 8) \end{aligned}\]Proposition 4 : \(\forall a, b, c \in \mathbb{Z}, a + b = a + c \Longrightarrow b = c\)
Pour tous \(a\), \(b\) et \(c\) entiers relatifs, si \(a + b = a + c\) alors \(b = c\).
Preuve : d’après l’axiome 13, si \(a + b = a + c\) alors \(a + b + (-a) = a + c + (-a)\). En effet, dans l’hypothèse où on a \(a + b = a + c\), on peut alors substituer \(a + b\) à \(a + c\) et vice versa. Il est donc possible d’ajouter un entier relatif des deux côtés de l’addition.
Ensuite, étant donné que l’addition est commutative (axiome 1), on a :
\[a + b + (-a) = a + c + (-a) \Longrightarrow a + (-a) + b = a + (-a) + c\]D’après l’axiome 8, il existe un inverse additif \((-a)\) de \(a\) tel que \(a + (-a) = 0\). Ainsi :
\[a + (-a) + b = a + (-a) + c \Longrightarrow 0 + b = 0 + c\]Grâce à la proposition 1, nous avons montré que pour tout entier relatif \(a\), on a \(0 + a = a\).
Ainsi : \(0 + b = 0 + c \Longrightarrow b = c\).
Proposition 5 : \(\forall a, b \in \mathbb{Z}, a + b = 0 \Longrightarrow b = -a\).
Pour tous entiers relatifs \(a\) et \(b\), si \(a + b = 0\) alors \(b = -a\).
Preuve : d’après l’axiome 13 :
\[a + b = 0 \Longrightarrow (-a) + a + b = (-a) + 0\]D’après l’axiome 6 sur l’élément neutre additif, \((-a) + 0 = a\). Ainsi :
\[(-a) + a + b = (-a) + 0 \Longrightarrow (-a) + a + b = -a\]D’après l’axiome 8 sur l’inverse additif, on a : \((-a) + a + b = 0 + b\). Aainsi :
\[(-a) + a + b = -a \Longrightarrow 0 + b = -a\]On se sert de la proposition 2 où nous avons démontré que pour tout entier relatif \(a\), on a \(0 + a = a\). Ainsi :
\[0 + b = -a \Longrightarrow b = -a\]Proposition 6 : \(\forall a,b,c,d \in \mathbb{Z}, (a + b)(c + d) = (ac + bc) + (ad + bd)\)
Pour cette proposition, nous écrirons la preuve complète avec les axiomes directement afin d’être plus concis, étant donné que nos propositions précédentes ont été suffisamment « verbeuses » à des fins didactiques. Notez cependant que la démarche reste la même.
Preuve :
\[\begin{aligned} (a + b)(c + d) &= (a + b)c + (a + b)d & (axiome\ 3) \\ &= c(a + b) + d(a + b) & (axiome\ 4) \\ &= (ca + cb) + (da + db) & (axiome\ 3) \\ &= (ac + bc) + (ad + bd) & (axiome\ 4) \end{aligned}\]Remarque : on constate que des opérations que l’on considérait comme acquises lors de nos études reposent en fait sur des axiomes et des démonstrations rigoureuses. Grâce à la proposition 6, nous pouvons désormais développer un produit rapidement, sans avoir à refaire la démonstration qui repose sur les axiomes de la commutativité et de la distributivité de la multiplication. Chose que nous faisions déjà « par cœur » à une certaine étape de notre éducation mathématique.
Proposition 7 : \(\forall a, b, c, d \in \mathbb{Z}, a + (b + (c + d)) = (a + b) + (c + d) = ((a + b) + c) + d\)
Nous nous servirons le l’axiome 2 sur l’associativité de l’opérateur addition.
Ainsi :
\[\begin{aligned} a + (b + (c + d)) &= (a + b) + (c + d) & (axiome\ 2) \\ &= ((a + b) + c) + d & (axiome\ 2) \end{aligned}\]Si la démonstration vous perturbe, reprenez l’axiome 2 : \((a + b) + c = a + (b + c)\) Pour mieux imager et éviter toute ambiguïté, utilisons à la place des lettres grecques pour l’axiome : \((\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)\).
Dans notre proposition, on retrouve bien :
\[\begin{aligned} \alpha &= a \\ \beta &= b \\ \gamma &= c + d \end{aligned}\]Et nous avons une forme de départ \(a + (b + c)\). Grâce à l’axiome 4 de la commutativité, on peut écrire :
\[\alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta) + \gamma\]Ainsi :
\[a + (b + (c + d)) = (a + b) + (c + d)\]C’est pourquoi la démonstration n’a pris qu’une étape, sauf qu’en réalité nous avons utilisé deux axiomes. Notez qu’elle reste parfaitement correcte.
Enfin, à partir de \((a + b) + (c + d)\), posons :
\[\begin{aligned} \alpha &= a + b \\ \beta &= c \\ \gamma &= d \end{aligned}\]Ce qui nous donne une expression de la forme \(\alpha + (\beta + \gamma)\). Et avec l’axiome 2 de l’associativité, nous pouvons écrire \((\alpha + \beta) + \gamma\), ce qui correspond à \(((a + b) + c) + d\).
Proposition 8 : \(\forall a,b,c \in \mathbb{Z}, a + (b + c) = (c + a) + b\)
Preuve :
\[\begin{aligned} a + (b + c) &= (b + c) + a & (axiome\ 1) \\ &= b + (c + a) & (axiome\ 2) \\ &= (c + a) + b & (axiome\ 1) \end{aligned}\]Proposition 9 : \(\forall a,b,c \in \mathbb{Z}, a(bc) = c(ab)\)
Preuve :
\[\begin{aligned} a(bc) &= (ab)c & (axiome\ 5) \\ &= c(ab) & (axiome \ 4) \end{aligned}\]Proposition 10 : \(\forall a,b,c,d \in \mathbb{Z}, a(b + (c + d)) = (ab + ac) + ad\)
Preuve :
\[\begin{aligned} a(b + (c + d)) &= ab + a(c + d) & (axiome\ 3) \\ &= ab + (ac + ad) & (axiome\ 3) \\ &= (ab + ac) + ad & (axiome\ 2) \end{aligned}\]Proposition 11 : \(\forall a,b,c,d \in \mathbb{Z}, (a(b + c))d = (ab)d + a(cd)\)
Preuve :
\[\begin{aligned} (a(b + c))d &= (ab + ac)d & (axiome\ 3) \\ &= d(ab + ac) & (axiome\ 4) \\ &= d(ab) + d(ac) & (axiome\ 3) \\ &= (ab)d + d(ac) & (axiome\ 4) \\ &= (ab)d + (ac)d & (axiome\ 4) \\ &= (ab)d + a(cd) & (axiome\ 5) \end{aligned}\]Proposition 12 : \(\forall a, b \in \mathbb{Z}, b + a = b \Longrightarrow a = 0\)
Cette proposition sert à démontrer que l’élément neutre additif est unique. En d’autres termes, pour tous a et b entiers relatifs, si on \(b + a = b\) alors \(a = 0\).
Pour prouver cela, nous pouvons réutiliser la proposition 2 où nous avons prouvé que pour tout entier relatif \(a\), on a \(0 + a = a\).
En particulier, lorsque nous choisissons \(b = 0\), on a :
\[\begin{aligned} 0 + a &= 0 & \\ a &= 0 & (proposition\ 2) \end{aligned}\]Étant donné que nous avons montré que lorsque \(b = 0\) on a \(a = 0\), qui est l’unique élément neutre additif possible, il n’est pas nécessaire de refaire la démonstration pour chaque \(b\).
Proposition 13 : \(\forall a \in \mathbb{Z}, \exists b \in \mathbb{Z} : b + a = b \Longrightarrow a = 0\)
Pour chaque entier relatif \(a\), il existe un entier relatif \(b\) de sorte que si \(b + a = b\) alors \(a = 0\).
\[\begin{aligned} b + a &= b & \\ (-b) + b + a &= (-b) + b & (axiome\ 13) \\ 0 + a &= 0 & (proposition\ 3) \\ a &= 0 & (proposition\ 2) \end{aligned}\]Proposition 14 : \(\forall a \in \mathbb{Z}, a · 0 = 0 = 0 · a\)
Preuve :
\[\begin{aligned} 0 &= 0 + 0 & (axiome\ 6) \\ \Longrightarrow a · 0 &= a · (0 + 0) & (axiome\ 13) \\ \Longrightarrow a · 0 &= a · 0 + a · 0 & (axiome\ 3) \\ \Longrightarrow a · 0 + (- (a · 0)) &= (a · 0 + a · 0) + (- (a·0)) & (axiome\ 13) \\ \Longrightarrow a · 0 + (- (a · 0)) &= a · 0 + (a · 0 + (- (a · 0))) & (axiome\ 2) \\ \Longrightarrow 0 &= a · 0 + 0 & (axiome\ 8) \\ \Longrightarrow 0 &= a · 0 & (axiome\ 6) \\ \Longrightarrow 0 &= 0 · a & (axiome\ 3) \end{aligned}\]Proposition 15 : \(\forall a, b \in \mathbb{Z}, (2 \mid a) \wedge (2 \mid b) \Longrightarrow 2 \mid ab\)
Pour tous entiers relatifs \(a\) et \(b\), si \(a\) et \(b\) sont divisibles par \(2\), alors le produit \(ab\) l’est aussi.
Définition : \(\forall a, b \in \mathbb{Z}, b \mid a \iff \exists c \in \mathbb{Z} : a = bc\).
Autrement dit, si \(b\) divise \(a\), alors il existe un entier relatif \(c\) tel que \(a = bc\).
Comment exprimer formellement qu’un nombre est divisible par 2 (ou pair) ?
D’après notre définition au-dessus, cela veut dire qu’il existe un entier relatif \(c\) tel que notre nombre divisible par \(2\) est égal à \(2c\).
Ainsi :
\[2 \mid a \Longrightarrow \exists k \in \mathbb{Z} : a = 2k\]Et :
\[2 \mid b \Longrightarrow \exists j \in \mathbb{Z} : b = 2j\]En combinant les deux implications :
\[(2 \mid a) \wedge (2 \mid b) \Longrightarrow \exists k, j \in \mathbb{Z} : (a = 2k) \wedge (b = 2j)\]Or :
\[\begin{aligned} ab &= 2k · 2j & \\ &= 2 · (k · 2 · j) & (axiome\ 5) \end{aligned}\]Étant donné que \((k · 2 · j) \in \mathbb{Z}\), on a bien exprimé le produit \(ab\) sous la forme \(2c\) (ici, \(c = (k · 2 · j)\)).
Par conséquent, \(2 \mid ab\)